Teorema de Pitágoras

Probando la creación de gifs animados en Photoshop he realizado una pequeña animación de la demostración china del teorema de Pitágoras. Este teorema dice que si tenemos un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de sus catetos (los lados menores) es igual al cuadrado de su hipotenusa (el lado mayor).

Los griegos no manejaban el álgebra y para ellos era una cuestión geométrica. Siguiendo esa linea lo que dice el teorema de Pitagoras es que la suma de las áreas de los cuadrados a y b es igual al área del cuadrado h.

La demostración china del teorema es también una explicación muy geométrica. Aquí esta la animación y a continuación la explicación (casi innecesaria).

Como se puede ver se trata de rotar el triángulo rectángulo original y formar con el dos cuadrados. Uno exterior de lado (a+b) y otro interior de lado h². Sabemos que este cuadrado interior es realmente cuadrado porque dado que el triángulo original es rectángulo la suma de los otros dos ángulos siempre es de 90º dejando los cuatro ángulos del cuadrado también de 90º.

Una vez realizada la operación de rotación la comprobación es sencilla. Tenemos dos formas de calcular el área total de la figura:

1. A partir de sus lados: (a+b)(a+b) = (a+b)²
2. Sumando 4 triángulos y un cuadrado interno: 4(ba/2) + h²

Si igualamos ambas expresiones y simplificamos:

(a+b)² = 4(ba/2) + h²
a² + 2ab + b² = 2ba + h²

Y finalizamos eliminando el termino 2ab de ambos lados de la ecuación:

a² + b² = h²

Una elegante demostración encontrada en un manuscrito chino más o menos de la misma época en la que vivió Pitágoras.